DAR
CE ESTE LA URMA URMEI UN FRACTAL?
Daca
o figura geometrica este in general usor de construit
si se defineste prin aceasta constructie, un obiect fractal
este mai dificil de surprins in complexitatea sa. El necesita
din partea observatorului un efort imaginativ, o participare
mentala de natura unui proces nesfarsit ce permite "dezvoltarea"
unei "seminte". Limita procesului, a dezvoltarii semintei,
este chiar obiectul fractal cautat. In adevaratul sens
al definitiei unui fractal, acesta nu poate fi materializat.
Procesul de dezvoltare poate fi oprit la un moment dat,
dar, asemanator definitiei limitei unui sir, adevaratul
fractal se va gasi intotdeauna in partea taiata si nedezvoltata.
Ceea ce s-a obtinut prin intreruperea procesului de dezvoltare,
este o parte ce sugereaza sau devoaleaza regula de constructie,
dar nu este, in adevaratul sens al definitiei, un obiect
fractal.
CURBA
LUI VON KOCH
|
Dar sa fim
mai expliciti. Asa cum se incepe geometria clasica,
prin desenarea unor obiecte simple (un cerc de
exemplu), sa incercam sa construim un "prototip"
pentru viitoarea gandire a unui "fractalist":
un fractal geometric determinist numit
Curba lui von Koch.
Generarea sa implica alegerea unui
INITIATOR (dreapta), a unei
LEGI de constructie (de transformare,
de deformare, de rupere, etc) si un
PROCES ce repeta la nesfarsit
aceeasi operatie dictata de legea aleasa, asupra
fiecarei parti rezultate din operatia initiala.
Concret, in acest caz legea impune ca dreapta sa fie divizata
in trei parti egale, sa fie inlaturata partea
centrala si in locul ei sa se puna un triunghi
echilateral fara baza.
Daca veti rula programul nostru de generare a curbei lui von
Koch, veti identifica usor aceasta prima etapa.
Apoi intervine procesul recursiv ce presupune
aplicarea legii pe fiecare segment de dreapta
rezultat. |
In acest caz, cele 4 segmente devin, fiecare
in parte, un "nou" initiator, suportul a 4 "imagini" micsorate
si asezate dupa aceeasi regula. Si asa mai departe... Sa
nu uitam ca mintea noastra trebuie sa preia esenta procesului
si sa o continue la infinit, caci doar dupa infinit de multi
pasi se obtine ceea ce se numeste Fractalul lui Koch.
Aceasta curba este
de lungime infinita si are o dimensiune proprie intre
1 si 2. Este un obiect "ciudat" pentru gandirea unui om
neobisnuit sa lucreze in abstract. Este o curba continua,
nederivabila in nici un punct, care depaseste "natura"
unei linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafata.
Dimensiunea proprie, caracteristica curbei Koch este:
Df = Ln(4) / Ln(3)
= 1.26185........
Ne-am obisnuit
sa producem si sa cerem 100 m liniari (D=1) de sarma,
o suprafata de mocheta de 100 m patrati (D=2). Oare vom
ajunge sa construim in viitor obiecte care sa necesite
cuvintele: - va rog sa-mi dati si mie 173 de metri la
puterea 1.26 din acea structura
PRAFUL
LUI CANTOR
|
O alta varianta
la fel de cunoscuta in lumea fractalilor este
praful lui Cantor. Ideea de generare este aceeasi.
Se porneste de la un initiator ce este si in acest
caz un segment de dreapta. Legea de generare presupune
doar indepartarea treimii din mijloc a segmentului.
In acest mod, prin repetarea la nesfarsit a legii,
se obtine o structura alcatuita dintr-un set de
puncte, structura caracterizata printr-o dimensiune
data de relatia:
Df = Ln(2)
/ Ln(3) = 0.63092.....
Din nou o structura particulara, cu dimensiune intermediara
cazurilor cunoscute de geometria euclidiana. |
Nici de dimensiune zero, specifica punctului,
dar nici de dimensiune 1, specifica liniei, ci 0.63092...
Un mic "monstru" matematic, scufundat intr-o linie, dar
care are identitate doar in spatiul 0.63092...
Oare cate fenomene fizice ce se desfasoara in jurul
nostru ar putea fi descrise, caracterizate prin acest model
al prafului lui Cantor. Mai multe informatii despre acest
subiect in Cartea lui Alain Boutot "Inventarea Formelor"
din colectia Stiinta Complexitatii a editurii NEMIRA, pe care va invitam sa o cititi cu atentie, chiar daca pe
alocuri va va parea dificila. SITA
LUI SIERPINSKI
O prima concluzie privind
generarea unei structuri fractale, caracterizate de o
dimensiune proprie fractionara, cuprinsa intre dimensiunea
"elementului de constructie" (de exemplu o linie, D=1)
si cea a spatiului in care se va scufunda obiectul generat
(de exemplu D=2 pentru Koch), este legata de necesitatea
interventiei unui proces recursiv. O repetare a legii
asupra propriului produs. O "reverberare" logica, o "microfonie"
intelectuala, o aplicatie intr-un sistem cu feed- back.
Bineinteles ca nu orice lege imaginata va conduce la aparitia
unui fractal, dar orice fractal poate fi descris printr-un
proces recursiv (repetitiv).
Sa imaginam urmatoarea
aplicatie: Fie intr-un plan trei puncte distribuite la
intamplare si considerate ulterior puncte fixe A, B si
C. Acum sa descriem "legea" de generare: alegem la intamplare
un punct D in plan si tot la intimplare unul din punctele
A, B sau C. Sa spunem ca "zarul" a ales punctul B. Se
delimiteaza astfel segmentul de dreapta DB pe care putem
MARCA, la mijlocul segmentului, punctul D' .
Urmeaza procesul recursiv:
considerind punctul D' ca fiind D se repeta algoritmul
(legea) de mai sus, adica: se alege alt punct la intimplare
(X) dintre A, B sau C, se reconstruieste segmentul DX,
se marcheaza punctul D' la mijlocul segmentului si se
reia algoritmul. Intrebarea ce se poate pune, extrem de
dificila pentru un om neantrenat cu aceste aplicatii recurente,
principial diferite de prelucrarile clasice aditive ce
operau mai mult in domeniul cantitativului, este: Cum
arata multimea de puncte (D) dupa cateva mii de repetari
ale acestui elementar algoritm? Inceracti sa va imaginati
acest "loc geometric" definit recursiv si apoi, pentru
confruntare cu realitatea.Surpriza unei asemenea diferente
dintre predictie si imaginea efectiv generata de programul
amintit este suficienta pentru a atrage atentia asupra
acestui mod inedit de a genera structuri complexe prin
metode elementar de simple. Este si surpriza majora oferita
cercetatorilor de prezenta in viata lor a calculatorului
electronic.
Acesta devine "spatiu
de experiment", proprietate extrem de incitanta pentru
spiritul doritor de nou. Experimentul pe calculator
capata dimensiuni euristice nebanuite. Putem descoperi
oare legi noi ale Universului nostru cu ajutorul unei
unelte inventate de noi (calculatorul) ? Iata o directie
de studiu demna de mileniul trei in care, cu speranta
si oarecare teama, vom pasi in curand.
GENERAREA
UNOR STRUCTURI ARBORESCENTE
Am prezentat pana aici
metode de generare a unor structuri geometrice fractale,
dar care nu au, la prima vedere, un corespondent direct
in lumea inconjuratoare. Din acest motiv, multi dintre
cei ce au parcurs materialul nostru pana aici ar putea
spune ca obiectul fractal nu este decat o alta "speculatie
matematica", suficient de abstracta pentru a nu avea valoare
practica si deci nefolositoare in principiu. Sa incercam
sa generam un alt "obiect" folosind tot repetitia unei
legi capabile sa dezvolte o structura complexa pornind
de la o "samanta". De data aceasta samanta este mai complicata,
o "schita" simplificata a unei structuri arborescente.
Sa ne imaginam ca, in virful fiecarei ramuri terminale,
atasam aceeasi saminta, micsorata de k ori, pentru ca
apoi, in varful fiecarei ramuri terminale, ale fiecarei
seminte micsorate si atasate fiecarei ramuri terminale
din samanta initiala , sa atasam alta samanta identica
cu prima, dar micsorata din nou de k ori. Cum arata oare
imaginea dupa 3,4,...n iteratii? Cum se schimba aceasta
daca schimbam structura semintei? Dar daca, in loc de
o structura determinista pentru samanta, punem o samanta
generata aleator? Sau daca nu se dezvolta toate ramurile?
Si uite asa, fata in fata cu calculatorul, in acest "holospatiu
de experimentare", intrebarile se succed din ce in ce
mai repede, potentate de rezultatele uimitoare generate
de cele cateva linii dintr-un program. Acesta este un
experiment pe calculator. Din numeroasele structuri generate,
unele seamana izbitor de bine cu structuri reale.
PROFILE
FRACTALE
In cartea lui
Boutot se vorbeste de miscarea browniana fractionara,
care este capabila sa genereze o linie cu dimeniune fractala
controlata. In acest moment al experimentului, nu este
interesant de identificat algoritmul de generare propriu-zis.
Sunt cunoscute in literatura de specialitate multe variante
derivate din principii matematice clare sau din simple
repetitii ale unor algoritmi geometrici. Important din
punctul nostru de vedere ar fi sa incercati sa identificati
asemanari cu figuri cunoscute din realitate, sa va imaginati
utilizarea acestor profile pentru caracterizarea unor
obiecte naturale. Sa surpindeti astfel adevarata fateta
a geometriei fractale care poate fi considerata din acest
punct de vedere o "geometrie a naturii", o metodologie
de auto-descriere comprimata a unor corpuri din natura,
metodologie mult mai adecvata cercetarilor din geofizica,
astrofizica sau biofizica.
La orizont, muntii
delimiteaza pe albastrul cerului un profil specific, usor
de recunoscut daca ceva din poza ne duce cu gandul la
peisaj. Dar ceea ce vedem este extrem de asemanator cu
profilul unei piese metalice sa zicem, vazut la microscop
(aspect cunoscut sub numele de rugozitate). Deci profilul
este asemanator pentru situatii atat de diferite, la scari
ce nu par sa aiba nimic in comun. Dar sa nuantam un pic.
Structura unui profil muntos vechi si erodat este mult
mai lina, mai aproape de o linie ondulata in timp ce profilul
unui lant vulcanic recent este mult mai accidentat, mai
diferit de o linie. Ochiul inregistreaza usor aceste observatii,
creierul le manifesta prin comparatie: acesta pare mai
lin decat acela. Dar stiinta incepe de acolo de unde se
poate masura, unde o abordare doar calitativa nu mai satisface,
unde este ceruta o delimitare precisa, in limita unei
erori determinate si considerate a fi acceptabile. Si
aici incepe rolul dimensiunii fractale care poate distinge
printr-un numar (Df), diferentele de structura. Ceea ce
nu poate face statistica, poate face pana la un anumit
prag dimensiunea fractala. Iar impreuna, cele doua moduri
de a estima un asemenea profil complicat permit nuantari
deosebite. Permit spiritului sa cucereasca si alte dimensiuni
in cunoastere, dimensiuni legate de morfogeneza, de forme
naturale, de descoperirea unor mecanisme si scopuri profunde
ale Naturii. Este poate pasul spre o Ortotehnologie ,
spre "tehnologia naturala" a mileniului trei.
Sa ne "jucam" putin
cu un program simplu care poate genera profile cu dimensiune
fractala controlata. Se va indica valorea Df (intre 1.1
si 1.9) si se va urmari aspectul profilului in desfasurarea
lui. Particular si general. Asemanare si specificitate.
DESPRE
AUTOSIMILARITATE
O proprietate
interesanta ce rezulta din insasi modul de definire al
unui fractal este cea numita si autosimilaritate. Conform
acestei proprietati, o parte din structura seamana cu
intregul. Orice decupare la scara oarecare sau anume aleasa,
aduce in fata ochilor nostri aceeasi "informatie", ne
dezvaluie acelasi aspect. Aceasta proprietate este evidenta
atat in cazul curbei lui Koch, cat si in cazul prafului
lui Cantor.Desi
mai putin evidenta la o examinare vizuala, aceeasi proprietate
este prezenta si in cazul fractalilor aleatori, fractali
obtinuti in mod asemanator celor geometrici deterministi,
doar ca in definirea legii de generare apar unul sau mai
multi parametri aleatori.
DETERMINAREA
DIMENSIUNII FRACTALE
Pana acum, programele
elaborate de noi au incercat sa va sugereze structuri
complicate, generate recursiv si care poarta numele de
fractali. Deci accentul a fost pus pe generare, pe obtinerea
unor obiecte de studiu care sa prezinte o serie de proprietati
precum: autosimilaritate, invarianta la scalare, dimensiune
proprie neintreaga (dimensiune fractionara). Oare cum
ar fi problema inversa? Fiind data o structura, i se poate
determina dimensiunea fractala? si daca da, cum? Pentru
a intelege acest lucru, pe langa informatiile din cartea
lui Boutot, sa ne reamintim cateva lucruri de baza din
matematica si fizica, legate de conceptul de masura. Si,
in acest demers teoretic sa pornim de la un cerc, figura
euclidiana elementara, definita simplu: locul geometric
al tuturor punctelor egal departate de centru. O caracteristica
importanta ce apare din definitie si care caracterizeaza
un cerc anume este raza R (dublul ei este considerat a
fi diametrul D). O marime ce rezulta implicit din definitie
este lungimea perimentrului unui cerc de raza R. Inca
din clasa a 5-a stim ca aceasta lungime este egala cu
PI*D. Dar sa vedem cum se ajunge la aceasta valoare. Sa
aproximam perimetrul cercului printr-un poligon regulat
de latura (L) inscris in cerc. Perimetrul va fi aproximat
prin lipsa, cu o valoare dependenta chiar de numarul laturilor
poligonului (N(L)):
P1 (L) ~ N1(L)* L
O aproximare mai buna
se va face daca L scade, respectiv cand coarda se apropie
din ce in ce mai mult de arcul subintins. Daca avem o
serie de poligoane inscrise in cercul de masurat, cu laturi
din ce in ce mai mici:
L1>L2>L3>
........>Ln
obtinem un sir de aproximate:
P1(L1)< P2(L2)
Analiza acestui sir
de aproximate ale perimentrului, atunci cand Ln tinde
catre zero, este cheia catre conceptul de masura si dimensiune.
Se spune ca obiectul analizat este masurabil, si deci
are sens sa discutam de dimensiune, doar daca limita sirului
de mai sus exista, este finita si diferita de zero. In
acest caz, limita este chiar valoarea cunoscuta PI*D.
Mai tragem o concluzie
imediata din cele de mai sus, si anume ca, atunci cand
limita exista si este finita, eroarea dintre limita sirului
(adevarata valoare) si o valoare oarecare din sirul de
aproximate este cu atat mai mica cu cat scara de masura
(L) este mai mica.
Concluzia a devenit
de bun simt si deci pornim sa masuram ceva direct cu o
scara cat mai mica pentru a minimiza eroarea. Nu prea
mai verificam daca obiectul masurat "se lasa supus masurarii",
caci in mintea noastra acest lucru este evident. Si de
multe ori avem dreptate. Dar nu in toate cazurile!
Sa ne amintim
de masuratorile efectuate de Richardson la inceputul acestui
secol, privind perimetrul unei insule. Activitatea sa
s-a desfasurat intr-un moment de mare dezvoltare stiintifica
si tehnica, perioada in care au fost elaborate metode
de obtinere a hartilor din ce in ce mai amanuntite. Intr-un
anume fel, involuntar, s-a efectuat insusi procesul descris
mai sus de verificare a masurabilitatii obiectului studiat,
in acest caz a perimetrului unui obiect real, perimetrul
unei insule. Surpriza mare a lui Richardson a constat
in observatia ca aproximatiile din ce in ce mai bune ale
perimentrului, facilitate de harti din ce in ce mai detailate,
nu au format un sir convergent spre o limita finita, contrazicand
practic insasi conditia de baza a masurabilitatii. Se
punea acut intrebarea, are sau nu insula un perimetru?
Cand se vorbea de insula
nu se intelegea figura insulei, acea limitare de
catre un contur realizat cu creionul pe hirtie, ci de
obiectul real care oferea observatorului din ce
in ce mai multe detalii, pe masura ce scara de masura
se micsora. O prima solutionare a fost insasi propunerea
lui Richardson: de a se mentiona, in cazul masuratorilor
unor corpuri reale, pe langa valoarea numerica gasita,
si scara de masura. In absenta acestei precizari, valoarea
gasita nu avea semnificatie, caci nu era vorba de eroare,
ci de ceva ce nu a fost luat in masura.
Doar dupa elaborarea
teoriei geometriei fractale de catre matematicianul Benoit
Mandelbrot, aceasta problema a fost solutionata acceptabil.
Problema a fost translatata in identificarea unei scari
de masura proprii obiectului, ce nu se lasa masurat cu
m, metrul patrat sau metrul cub (m, m^2, m^3), ci cu o
unitate specifica lui. Unitatea de masura este (L^d) unde
(d) este o valoare neintrega, fractionara, intermediara
lui D=(1,2,3, ..n) din geometria euclidiana. Pentru valoarea
lui d=Df, determinata si atasata precum o caracteristica
particulara obiectului analizat, seria aproximatelor parametrului
masurat este convergenta si deci obiectul este masurabil
(este "consistent", "dens"). Daca d este diferit
de aceasta valoare, sirul fie este divergent, fie este
convergent la zero, si deci obiectul nu este masurabil.
De ce a construit natura
in asemenea spatii? Ce are in plus un pom fata de un cilindru?
Ce diferente nu sunt inca intelese de omul de stiinta
intre un arbore cotit si un copac indoit? De ce natura
a preferat structurile fractale? Iata cateva intrebari
cu adevarat serioase pentru acest sfarsit de mileniu!!!
Si cum sa determinam
exponentul Df? Cum sa construim un "subler" pentru o structura
fractala? O intrebare fireasca pentru o atitudine normala
atat a unui teoretician, dar si a unui practician care
doreste sa aplice imediat orice "noutate stiintifica",
in folos propriu sau social. Problema este deosebit de
simpla si derivata direct din insasi definitia dimensiunii:
se masoara obiectul
cu un set de scari, din ce in ce mai mici, obtinandu-se
un sir de aproximate ale obiectului masurat. Se studiaza
convergenta acestui sir, valoarea lui (d) pentru care
acest sir este convergent si diferit de zero fiind Df
-dimensiunea fractala cautata.
Este si dimensiunea
atasata structurii analizate, o caracteristica ce poate
ajuta la discriminarea intre doua forme, obiecte, profile
ce par asemanatoare.
O metoda practica de
evaluare a unitatii proprii unei structuri fractale este
cunoscuta sub denumirea de "box counting", in traducere
nu prea inspirata "numararea cutiilor". Sa presupunem
ca avem o curba data desenata intr-un plan. Putem sa alegem
dimensiunea maxima a obiectului si sa construim un patrat
ce contine obiectul de analizat. Lungimea laturii acestui
patrat poate fi considerata unitatea de masura. Impartim
aceasta unitate in doua parti egale; se obtin, la scara
1/2, 4 domenii din care doar (n1) sunt ocupate de structura
analizata. Impartim din nou, fiecare patrat in patru parti
egale (scara 1/4) si se obtin 16 domenii din care (n2)
sunt ocupate de parti ale obiectului analizat. Procedam
asemanator pana la limita rezolutiei de care dispunem.
Se obtin deci doua siruri: unul pentru scari:
1/2, 1/4, 1/8,
1/16, ...............
si unul pentru numarul de domenii ocupate raportat la numarul total
de domenii, dependent de scara:
n1/4, n2/16, n3/64,
n 4/ 256, ..................
Se considera un punct M de coordonate (scara, numar caracteristic
determinat la acea scara- de exemplu M1(1/2, n1/n(l/2)),
M2( 1/4, n2/n(1/4)), etc , si se reprezinta intr-un sistem
ortogonal plan de coordonate logaritmice. Se poate demonstra
ca Df este numeric egal cu panta dreptei de regresie trasata
de punctele M1,M2,.....Mn. Odata gasita valoarea lui Df,
se poate identifica obiectul ca fiind sau nu fractal.
Daca Df este foarte aproape de 1 sau de 2, atunci obiectul
analizat este de tip euclidian; daca Df are valoare intermediara,
fractionara, iar dreapta de regresie se poate determina
cu o eroare acceptabila, atunci acel obiect este fractal,
caracterizat de insasi valoarea determinata.
Va lasam sa experimentati
procedeul box-counting de determinare a dimensiunii fractale
pentru o serie de curbe caracteristice. In program, limitele
pentru parametrii de generare ce pot fi modificati sunt
marcate intre paranteze drepte, valoarea intermediara
sugerata fiind recomandata pentru a incepe studiul .
Speram ca aceste
scurte programe sa constituie un inceput in propria voastra
activitate de descoperire a frumusetii si utilitatii lumii
fractale.
|